Brojevni sustavi

BROJEVNI SUSTAVI

Mi se već stoljećima koristimo dekadskim brojevnim sustavom (arapski brojevi od 0-9), a za potrebe računala nastali su drugi brojevni sustavi kao što su binarni, oktalni i heksadekadski brojevni sustav.

Brojevni sustav sastoji se od :

skupova znamenki

pravila za pisanje znamenki

Dijele se na :

POZICIJSKE

NEPOZICIJSKE

NEPOZICIJSKI brojevni sustav - značenje pojedine znamenke ne ovisi o njezinu položaju u zapisanom broju.

Takav brojevni sustav je:

SUSTAV RIMSKIH BROJEVA

NEDOSTACI TAKVOG SUSTAVA:

- za zapisivanje većih brojeva treba uvoditi nove znamenke

- obavljanje aritmetičkih operacija je vrlo složeno

TAKVI SE SUSTAVI VRLO RIJETKO UPOTREBLJAVAJU

POZICIJSKI brojevni sustav - uporabljuje ograničen broj znamenki s tim da njihova vrijednost ovisi o položaju u zapisanom broju.

Odabrani broj znamenki određuje BAZU sustava.

Pozicijski brojevni sustavi su:

DEKADSKI BROJEVNI SUSTAV

BINARNI BROJEVNI SUSTAV

OKTALNI BROJEVNI SUSTAV

HEKSADECIMALNI BROJEVNI SUSTAV

DEKADSKI BROJEVNI SUSTAV

Uporabljuje deset znamenki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Baza sustava jest deset.

Vrijednost znamenke ovisi o položaju u zapisanom broju.

Znamenke zapisane krajnje desno imaju vrijednosti od 0 do 9.

Vrijednosti ostalih znamenaka u višeznamenkastom broju množe se ( slijeva na desno) redom brojevima:

10, 100, 1 000, 10 000, ...

Možemo smatrati da se kranja desna znamenka množi brojem JEDAN.

Broj 1732 možemo zapisati kao:

1732 = 1* 1000 + 7 * 100 + 3 * 10 + 2 * 1

Faktori 1, 10, 100, 1 000, ... mogu se zapisati kao potencije broja deset:

	1 = 10⁰
	10 = 10¹
	100 = 10²
	1000 = 10³

Skraćeni zapis broja 1732 : 1* 10³ + 7 * 10² + 3 * 10¹ + 2 * 10⁰

Potencije broja deset su težinski faktori ili težine.

Prema tim težinama znamenke dobivaju ime:

jedinice, desetice, stotice tisućice, itd.

Pojedina brojevna mjesta mogu se označiti indeksima koji su jednaki eksponentima baze tj. 0, 1, 2, itd., pa se brojevna mjesta mogu zvati nulto, prvo, drugo itd. ( krajnje desno mjesto je nulto itd.)

Bilo koji prirodni broj s n znamenaka može se zapisati kao:

d_n-1 d_n-2...d₂d₁d₀ d_i - dekadska znamenka

a vrijednost tog broja je:

d_n-1 * 10 ^n-1+ d_n * 10 ⁿ +...+ d₂ * 10 ²+ d₁ * 10 ¹ + d₀ * 10 ⁰

npr:

broj 2583 ima 4 znamenke pa je n = 4

VRIJEDNOST:

2583

= d₃* 10³ + d₂* 10² + d₁* 10¹ + d₀* 10⁰

= 2 * 10³ + 5 * 10²+ 8* 10¹ + 3* 10⁰

= 2000 + 500 + 80 + 3
= 2583

BINARNI BROJEVNI SUSTAV

Uporabljuje dvije znamenke: 0 i 1

Baza sustava jest dva.

Vrijednost znamenke ovisi o položaju u zapisanom broju.

Binarni broj s n znamenki može se zapisati kao:

b_n-1 b_n-2...b₂b₁b₀ , b_i - binarna znamenka

a vrijednost tog broja je:
b_n-1 * 2 ^n-1+ b_n * 2 ⁿ +...+ b₂ * 2 ²+ b₁ * 2 ¹ + b₀ * 2 ⁰

Jedno binarno mjesto kraće se naziva BIT.

Težinski faktori ili težine su potencije broja 2.

2⁰ = 1

2⁵ = 32

2¹⁰ = 1024

2¹ = 2

2⁶ = 64

2¹¹ = 2048

2² = 4

2⁷ = 128

2¹² = 4096

2³ = 8

2⁸ = 256

2¹³ = 8192

2⁴ = 16

2⁹ = 512

2¹⁴ = 16384

Binarne znamenke možemo nazivati po težinama:

jedinice, dvojke, četvorke, osmice itd.

U binarnom brojevnom sustavu moguće je provoditi aritmetičke operacije:

zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje

Zbrajanje binarnih brojeva:

Binarne brojeve zbrajamo pomoću ove tablice. Iz tablice je vidljivo da je npr.

1+1+1 = 1 i 1 prijenos.

1+1 = 0 i 1 prijenos.

1

0

0

1

1

+1

+0

+1

+0

+1

1

0

1

1

10

11

Primjer:

001100110

+ 110110110

101010000

Oduzimanje binarnih brojeva:

Isto kao i za zrajanje, kod oduzimanja se možete poslužiti tablicom.

0

1

1

10

-0

-0

-1

-1

0

1

0

11

Ostale brojevne sustave staviti ćemo naknadno.

Binarni brojevni sustav